Integraalrekenmachine
Voer een uitdrukking in x (of een andere variabele) in en de rekenmachine geeft een symbolische antiderivaat of een numerieke waarde terug voor een gegeven interval. De tool ondersteunt polynomen, trigonometrische, exponentiële, logaritmische en rationele functies, evenals veelvoorkomende substituties en integratie per delen; de uitvoeringsstappen worden weergegeven als u uw berekeningen wilt controleren.
Hoe een integraal te beoordelen
-
1
Typ de integraand in
Schrijf de functie als `x^2 + 3*sin(x)` of `1 / (x^2 + 1)`. Implische vermenigvuldiging met tussenruimtes wordt geaccepteerd.
-
2
Kies voor definitief of ondefinitief
Voor een definitieve integraal worden de onderste en bovenste grenzen ingesteld (ondersteuningsbereiken `inf` en `-inf`).
-
3
Rekenen
Het hulpmiddel probeert eerst een symbolische oplossing; als dat mislukt, wordt overgegaan op numerieke kwadraturatie.
-
4
Lees de stappen
De optionele stapsgewijze uitwerking toont de substitutie, de integratie per delen of de decompositie in partiële fractionen.
Veelvoorkomende antiderivaatmiddelen
| f(x) | Integraal |
|---|---|
| x^n (n != -1) | x^(n+1) / (n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| e^x | e^x + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| sec²(x) | tan(x) + C |
| 1 / (x^2 + 1) | arctan (x) + C |
| 1 / sqrt (1 - x^2) | arcsin (x) + C |
Technieken die het hulpmiddel probeert, in volgorde
- Basische regels — macht, exponentiële functies, trigonometrie.
- Substitutie (u-sub) — identificeer een functie en haar afgeleide in de integrand.
- Integratie per onderdeel —
∫u dv = uv - ∫v du, voor producten met verschillende functietypes. - Deelfracties – voor rationele integraanden
P(x)/Q(x)endeg(P) < deg(Q). - Trigonometrische identiteiten – voor producten van sinus- en cosinusfuncties.
- Numerieke kwadraturatie – de Gauss-Kronrod-methode voor definitieve integralen wanneer geen gesloten vorm bestaat.
Notatie voor definitieve integraal
∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
Het fundamentele stellingje luidt als volgt: als F een antiderivaat is van f, dan is de definitieve integraal van a tot b gelijk aan F(b) - F(a). Het hulpmiddel berekent eerst F en vervolgens waardet het deze waarde op de grenzen.
Veelvoorkomende fouten
- Verwijdering van de
+ C-code: Elke oneindige integraal heeft een integratieconstante. Het hulpmiddel geeft deze constante weer; studenten die handgeschreven schrijven, vergeten dit echter vaak. – Foute grenzen voor onjuiste integralen:∫_0^∞ e^(-x) dx = 1, maar niet∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx = sqrt(π). Controleer altijd de convergentie. - Gebruik een arctaan in plaats van een arctanh wanneer de noemer bestaat uit
(x-a)(x-b)met reële wortels; dit betreft een logaritme, niet een arctaan. – Vergeten van de ketenregel bij substitutie met x. Alsu = 3xgeldt, dan geldt ookdu = 3 dx; nietdu = dx.
Wanneer er geen gesloten vorm bestaat
Sommige integraalvormen hebben simpelweg geen elementaire antiderivaat — e^(-x^2), sin(x)/x en 1/ln(x). Binnen een bepaald interval hebben ze echter wel een numerieke waarde, die het hulpmiddel met hoge nauwkeurigheid berekent.
Veelgestelde vragen
Voor een definitieve integraal wordt het programma teruggegaan naar numerieke kwadraturatie (Gauss-Kronrod) en retourneert een waarde samen met een schatting van de fout. Voor een ondefinitieve integraal zonder elementaire antiderivaat geeft het deze informatie weer en biedt als alternatief een reeksuitbreiding aan.
Ja. Om de variabele duidelijk te maken, omhult u de uitdrukking bijvoorbeeld als integrate(t^2, t). Elke variabele met één letter is geschikt.
Ja. Schakel ‘stappen weergeven’ in en het hulpmiddel printt de gebruikte substitutie, keuze van onderdelen of decompositie in partiële fractionen één regel per keer af.
Ja, maar u moet het interval mogelijk splitsen op de nulpunten om een heldere uitkomst te verkrijgen. Het hulpmiddel verwerkt \|x\| door de tekens automatisch te detecteren wanneer dat mogelijk is.