Wortelrekenmachine
Voer een positief getal in en de rekenmachine geeft de kwadratroot terug in decimale vorm tot 15 cijfers en, waar mogelijk, ook de exacte versimpelde radicaalformule — bijvoorbeeld wordt √72 uitgedrukt als 6√2 en √200 als 10√2. Voor perfecte kwadraten krijgt u een geheelgetal; voor negatieve getallen wordt de notatie i gebruikt, waarbij de imaginaire eenheid wordt weggelaten.
Hoe de wortel wordt berekend
-
1
Voer de radicaande in
Het getal onder de wortel: positief, negatief of nul.
-
2
Decimale vorm
Berekend met behulp van de IEEE 754-instructie voor de vierkantswortel — nauwkeurig tot 15 significante cijfers.
-
3
Geconsolideerde radicale vorm
Verdeel in factoren met een kwadratische basis. √72 = √(36 × 2) = 6√2.
-
4
Toon de werking
De stapsgewijze factorisatie wordt weergegeven, zodat u deze handmatig kunt herhalen.
Belangrijke perfecte kwadraten
| n | n² | √(n²) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 16 | 4 |
| 5 | 25 | 5 |
| 10 | 100 | 10 |
| 11 | 121 | 11 |
| 12 | 144 | 12 |
| 13 | 169 | 13 |
| 14 | 196 | 14 |
| 15 | 225 | 15 |
| 16 | 256 | 16 |
| 25 | 625 | 25 |
Vereenvoudigen van niet-perfecte kwadraten
Het trucje is om de grootste factor die een perfect kwadrat is te vinden:
- √50 = √(25 × 2) = 5√2
- √72 = √(36 × 2) = 6√2
- √108 = √(36 × 3) = 6√3
- √500 = √(100 × 5) = 10√5
- √1000 = √(100 × 10) = 10√10
Als het resultaat nog een niet-kwadratische factor bevat, herhaal het berekeningsproces: √180 = √(36 × 5) = 6√5, en niet √(4 × 45) = 2√45 (dit is niet volledig vereenvoudigd).
Veelvoorkomende decimale waarden
- √2 ≈ 1,41421 (Pythagoras binnen een vierkant met een eenheid)
- √3 ≈ 1,73205 (de diagonaal van een kubus)
- √5 ≈ 2,23607 (voorkomt in het gouden verhouding (1 + √5)/2)
- √7 ≈ 2.64575
- √π ≈ 1,77245 (gebruikt in de statistiek en bij Gaussische integralen)
- √10 ≈ 3.16228
- √(1000) ≈ 31,6228 (elk vermenigvuldigen met 10 verhoogt √ met ongeveer het 3,16-voudige)
Negatieve getallen en imaginaire getallen
De vierkantswortel van een negatief getal is niet gedefinieerd in de reële getallen. In de complexe getallen geldt voor positieve x dat √(−x) = i√x; dus is √(−4) = 2i. De rekenmachine geeft bij negatieve invoerwaarden de imaginaire vorm weer in plaats van een decimaalgetal.
Fourthaalswortel versus n-de wortel
De rekenmachine ondersteunt vierkante wortels (2e wortel). Voor kubische wortels, vierde wortels en dergelijke, gebruikt u een algemeen hulpmiddel voor de n-de wortel. Belangrijke identiteiten:
- √(ab) = √a × √b (enkel als a en b niet-negatief zijn)
- √(a/b) = √a / √b (enkel als b > 0)
- (√a)² = a (enkel als a ≥ 0)
Historische verwijzing
Het radicalsymbool √ ontstond uit het letterteken r (voor radix; ‘wortel’ in het Latijn) in de 16e eeuw. De horizontale streep (het vinculum) werd in de 17e eeuw toegevoegd om het gebied onder de wortel af te bakenen.
Veelgestelde vragen
Elk positief getal heeft twee vierkantswortels: +x en −x. De hoofdwortel (de niet-negatieve) is precies wat √ meestal betekent. Bij kwadratische vergelijkingen worden beide gebruikt.
Volgens de conventie is het antwoord slechts 5. √ geeft de hoofdwortel (niet-negatieve wortel) terug. Bij het oplossen van x² = 25 voldoen zowel 5 als −5 aan de vergelijking; daarom wordt x = ±5 gesloten.
Historische methoden: de algoritme voor lang delen digit voor digit, de Newtonmethode (iteratief: x_new = (x + a/x)/2) of het ontleden en vereenvoudigen van getallen bij het bepalen van wortels van getallen die rijk zijn aan perfecte kwadraten. De Newtonmethode convergeert snel; na drie iteraties bereikt men een nauwkeurigheid van tien cijfers voor de meeste invoerwaarden.
Gebleken door de Grieken middels het tegenstrijdigheidsbewijs: als √2 = p/q in de laagste termen geldt, dan volgt 2q² = p², waardoor p een even getal is; dus p = 2k, en vervolgens 2q² = 4k², wat leidt tot q² = 2k² – ook q is hierdoor een even getal, wat in strijd is met lowest terms. Derhalve kan √2 geen fractioneel getal zijn; het is irrationaal.