Kalkulator voor drievoudige integraal
drievoudige integralen worden gebruikt om het volume, de massa en de stroomsterkte te berekenen in driedimensionale gebieden — een type probleem waarbij een cartesisch gebied, zoals een doos, eenvoudige grenzen heeft, maar het vaste gebied tussen twee paraboloiden vereist zorgvuldige keuzes voor de integratievolgorde. Deze rekenmachine berekent ∭f(x,y,z) dV binnen de door u opgegeven grenzen, ondersteunt cartesische, cilindrische en sferische coördinaten en toont elk stap van de integratieprocedure.
Hoe berekent u een drievoudige integraal?
-
1
Voer f(x, y, z) in.
Het integraand. Standaardnotatie: x*y*z, x²+y², sin(x)*cos(y).
-
2
Kies een coördinaatsysteem
Cartesiaans (dx, dy, dz), cilindrisch (r, dr, dθ, dz) of sferisch (ρ² sin(φ), dρ, dφ, dθ).
-
3
Stel de grenzen in
Voor elke van de drie variabelen: constanten of functies van de andere variabelen.
-
4
Kies de volgorde van integratie
zdzydx, dxdyzd, etc. De keuze kan de wiskunde aanzienlijk vereenvoudigen.
-
5
Kijk bij de stapsgewijze evaluatie
Eerst het binnenste integraal, daarna het middenste en ten slotte het buitenste, met antiderivaatoren op elke stap.
Wat zijn de drie coördinaatsystemen voor?
| Systeem | Volume-element | Beste voor |
|---|---|---|
| Cartesiaans | dx dy dz | Doosjes, prismen, algemene asymmetrische gebieden |
| Cilindrisch | r dr dθ dz | Cilinders, kegelvormige structuren en rotatieoppervlakken |
| Sferisch | ρ² sin(φ) dρ dφ dθ | Bollen, sectoren van sferen, gravitatieproblemen |
Het gebruik van het verkeerde systeem kan een eenvoudige integraal omtoveren in een nachtmerrie. Een bol met straal 1, geïntegreerd in het cartesiaanse systeem, heeft onduidelijke grenzen van de vorm √(1 − x² − y²); in het sferische systeem is de integrale echter ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ – duidelijk en goed te splitsen.
Commele problemen
- Massa: ∭ρ(x,y,z) dV, waarbij ρ de dichtheid is. – Massecentrum: ∭x ρ dV / totale massa; dit geldt eveneens voor y en z.
- Inertie moment: ∭r² ρ dV rond een gekozen as.
- Volume: ∭1 dV — het integraalgetal is 1, waardoor het gaat om het berekenen van het volume van de regio.
Verandering van de volgorde van integratie
In een regio waar de binnenste grens niet eenvoudig kan worden uitgedrukt als functie van de buitenste variabele, helpt het vaak om de volgorde van de variabelen te verwisselen. Teken de regio, projekteer deze op het gewenste binnen-uitwendige vlak en bereken de grenzen opnieuw.
Werkvoorbeeld: het volume van een bol
In sferische coördinaten is de eenheidsbal {x² + y² + z² ≤ 1}:
V = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π [ρ³/3]₀¹ sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π (1/3) sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π (1/3)[-cos(φ)]₀π dθ
= ∫₀²π (2/3) dθ
= 4π/3
De bekende formule V = (4/3)πr³ verdwijnt in drie eenvoudige stappen — in cartesiaans coördinaatsysteem beslaat dezelfde integraal namelijk meerdere pagina’s.
Numerieke back-up
Sommige integraalvergelijkingen hebben geen antiderivaat in gesloten vorm. Wanneer symbolische integratie niet lukt, gaat de rekenmachine terug naar numerieke kwadraturatie en retourneert een schatting met een foutschatting.
Veelgestelde vragen
Meestal waren de grenzen fout. Grenzen voor drievoudige integralen kunnen afhangen van interne variabelen, en een verkeerde volgorde leidt tot wiskundig verschillende integralen. Teken eerst het gebied en bepaal daarna zorgvuldig de grenzen.
De rekenmachine schakelt over op numerieke methoden (adaptieve kwadraturatie). U krijgt een numerieke uitkomst met een foutgrens, in plaats van een symbolische uitdrukking.
Sferisch wanneer de regio een volledige 3D-symmetrie rond een punt heeft (ballen, kegels vanuit een punt). Cilindrisch wanneer er axiale symmetrie is (cilinders, oppervlakken van rotatie rond een as). Cartesiaans wanneer er geen van beide symmetrieën aanwezig is.
Nee. Alle berekeningen worden uitgevoerd in uw browser.