Dotproductrekenmachine

De twee formules

Componentvorm voor de vectoren a = (a1, a2, ..., an) en b = (b1, b2, ..., bn):

a . b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn

Geometrische vorm:

a . b = |a| * |b| * cos(theta)

De twee uitdrukkingen zijn gelijk; wanneer je ze gelijk stelt, krijg je cos(theta) = (a.b) / (|a| |b|), de formule voor cosinusgelijkenis.

Wat het teken u vertelt

Uitgewerkt voorbeeld

a = (3, 4), b = (1, 2):

• Componenten: 3×1 + 4×2 = 3 + 8 = 11
• |a| = √(9 + 16) = 5
• |b| = √(1 + 4) = √5 ≈ 2,236
• cos(θ) = 11 / (5 × 2,236) = 0,9839
• θ = arccos(0,9839) ≈ 10,3 graden

De vectoren wijzen bijna in dezelfde richting, vandaar het grote positieve scalaire product.

Veelgebruikte toepassingen

• Cosinusgelijkenis voor aanbevelingssystemen: hoe vergelijkbaar zijn twee embeddingvectoren?
• Projectie van een vector op een andere: proj_b(a) = (a . b) / |b|^2 * b.
• Arbeid in de natuurkunde: W = F . d, het scalaire product van kracht en verplaatsing.
• Grafische verlichting: het scalaire product van de oppervlaktenormaal en de lichtrichting geeft de diffuse helderheid (wet van Lambert).
• Orthogonaliteitscontrole: controleer snel of twee basisvectoren loodrecht op elkaar staan.

Tips

• Normaliseer eerst voordat je vergelijkt. Als u alleen in de richting (gelijkenis) geïnteresseerd bent, deelt u elke vector eerst door zijn grootte; dan is het scalaire product direct gelijk aan de cosinus.
• Let op de dimensie. Het scalaire product van een 3-vector met een 4-vector is niet gedefinieerd; vul bewust aan of kap bewust af, niet per ongeluk.
• Numerieke stabiliteit. Bij zeer grote vectoren kan de optelling in drijvendekommagetallen aan precisie verliezen; gebruik dubbele precisie of Kahan-sommatie wanneer de dimensie meer dan enkele duizenden bedraagt.