Matrixdeterminantcalculator

Wat de determinant u vertelt

• Niet nul: de matrix is inverteerbaar; haar kolommen zijn lineair onafhankelijk; ze definieert een bijectieve lineaire afbeelding.
• Nul: de matrix is singulier; de kolommen zijn lineair afhankelijk; de afbeelding laat minstens één dimensie inklappen.
• Teken: positief betekent dat de lineaire afbeelding de oriëntatie behoudt; negatief betekent dat ze deze omkeert (zoals een spiegelbeeld).
• Grootte: |det(A)| is de factor waarmee de afbeelding het n-dimensionale volume schaalt. Een 2×2-matrix met det 3 schaalt oppervlakten met 3; det −2 schaalt oppervlakten met 2 en keert ze om.

Kleine gevallen: doe ze met de hand

2×2:

det([[a, b], [c, d]]) = a·d − b·c

3×3 (regel van Sarrus):

det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) voor [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]].

Grotere gevallen: gebruik LU

Een 4×4-determinant met de hand berekenen via cofactorontwikkeling vereist 4! = 24 vermenigvuldigingen. Een 6×6 vereist er 720. LU-decompositie reduceert het werk tot O(n³): ontbind A = LU, waarbij L benedendriehoekig is met enen op de diagonaal en U bovendriehoekig; dan det(A) = det(L)·det(U) = ∏ u_ii.

Eigenschappen die de moeite waard zijn

• det(AB) = det(A)·det(B).
• det(A^T) = det(A).
• det(A^−1) = 1 / det(A).
• det(kA) = k^n · det(A) voor een n×n-matrix.
• Twee rijen verwisselen keert het teken van de determinant om.
• Een veelvoud van één rij bij een andere optellen verandert de determinant niet.
• Als een rij (of kolom) volledig uit nullen bestaat, is de determinant nul.

Veelvoorkomende fouten

• Het tekenpatroon vergeten bij cofactorontwikkeling: + − + − + − .... De (i,j)-cofactor is (−1)^(i+j) maal de minor.
• Ontwikkelen langs een rij met niet-nul-elementen terwijl er een rij met drie nullen is. Kies de rij of kolom met de meeste nullen om het werk te vereenvoudigen.
• Aannemen dat det(A+B) = det(A) + det(B). Dat klopt niet. De determinant is multiplicatief, niet additief.