Softonic

Rekenmachine voor de inverse matrix

Stap 1 / 2 Vierkante matrix
Resultaten

De inverse van een vierkante matrix A is de matrix A⁻¹ zodanig dat A · A⁻¹ = I. Voer een vierkante matrix tot formaat 10×10 in; de rekenmachine verrijkt deze met de identiteitmatrix, voert de Gauss-Jordan-methode met gedeeltelijke pivotering uit en retourneert A⁻¹ samen met alle uitgevoerde rijoperaties. Als de matrix singulier is (det = 0), stopt het programma en geeft het aan waar de reduktie is mislukt.

Hoe wordt de inverse berekend

  1. 1

    Voer een vierkante matrix in

    Evenveel rijen en kolommen: van 2×2 tot 10×10.

  2. 2

    Hulpmiddel controleert de inverteerbaarheid

    Berekent eerst det(A). Als het resultaat nul is, is de matrix singulier en heeft geen inverse.

  3. 3

    Versterk met identiteit

    Vormt de blok [A | I] klaar voor Gauss-Jordan.

  4. 4

    Rijreductie naar [I | A⁻¹]

    Elke rijoperatie wordt geregistreerd; het rechterblok wordt de inverse.

  5. 5

    Controleer

    Het hulpmiddel vermenigvuldigt A met A⁻¹ en toont het resultaat weer; dit moet overeenkomen met de identiteit binnen de numerieke nauwkeurigheid.

Wanneer een inverse bestaat

Een vierkante matrix A is inverteerbaar dan en slechts dan als det(A) ≠ 0. Equivalente voorwaarden:

  • De kolommen zijn lineair onafhankelijk.
  • De rijen zijn lineair onafhankelijk.
  • De nulruimte is triviaal (enkel de nulvector).
  • A heeft volledige rang (rang = n).
  • Het lineaire stelsel Ax = b heeft voor elke b een unieke oplossing.

De 2×2-snelkoppeling

Voor A = [[a, b], [c, d]]:

A^−1 = (1 / (ad − bc)) · [[d, −b], [−c, a]]

Wissel de diagonaal om, verander het teken van de elementen buiten de diagonaal en deel door de determinant.

Gauss-Jordan in één afbeelding

Start: [A | I].

Einde: [I | A^−1].

De rijoperaties die A in I omzetten, veranderen I in A⁻¹ wanneer ze op I worden toegepast.

Waarom gedeeltelijke pivotering belangrijk is

Zonder deze kiest het algoritme het diagonaalelement van de huidige rij als pivot. Als die waarde nul of zeer klein is, loopt de deling spaak. Bij gedeeltelijke pivotering wordt de rij met de grootste absolute pivot ingewisseld, waardoor de berekening numeriek stabiel blijft.

Controleer uw resultaat

Vermenigvuldig A · A⁻¹. U hoort de identiteitsmatrix te krijgen (met een zeer kleine numerieke afwijking). Als u merkt dat de elementen op de diagonaal duidelijk afwijken van 1 of elders van 0, is de matrix bijna singulier en is de numerieke inverse onbetrouwbaar: die bestaat theoretisch wel, maar het berekende resultaat kan met veel cijfers verkeerd zijn.

Uitgewerkt 2×2-voorbeeld

A = [[4, 7], [2, 6]]

  • det(A) = 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10 (niet-nul, inverteerbaar).
  • Verwissel en verander van teken: [[6, −7], [−2, 4]].
  • Deel door 10: A^−1 = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]].
  • Controleer: A · A^−1 = [[1, 0], [0, 1]]. ✓

Tips

  • Gebruik exacte rekenkunde voor kleine matrices (2×2, 3×3) om nette breuken te krijgen. Drijvendekommagetallen veroorzaken afrondingsfouten, zelfs bij eenvoudige gehele invoer.
  • Inverteer niet om Ax = b op te lossen in productiecode. Radreduceer in plaats daarvan het uitgebreide stelsel [A | b]; dat is sneller en stabieler dan inverteren en vervolgens vermenigvuldigen.
  • Conditiegetal. Als cond(A) groot is (bijvoorbeeld >10^10 in dubbele precisie), is de numerieke inverse onbetrouwbaar, ook al bestaat ze.

Veelgestelde vragen

‘Singular’ betekent dat de determinant nul is, wat kan gebeuren wanneer de kolommen lineair afhankelijk zijn – een kolom is een veelvoud van een andere, of één kolom is de som van twee andere. Niet-nul elementen garanderen geen onafhankelijkheid.

Nee. Niet-vierkante matrices hebben pseudoinversen (Moore-Penrose), die voor elke matrix gedefinieerd zijn, maar geen echte inversen vormen. Gebruik een speciaal hulpmiddel voor de berekening van een pseudoinvers als nodig.

Voor gehele invoerwaarden tot een redelijke grootte geldt dit: de resultaten blijven rationaal. Voor drijvendekommawaarden of irrationele waarden schakelt de rekenmachine over naar dubbele nauwkeurigheid.

Tot een formaat van 10×10 kan gemakkelijk worden weergegeven in de browser; voor grotere afmetingen wordt een numerische bibliotheek in combinatie met BLAS gebruikt.

Ronding bij dubbele precisie-aritmetica. De waarden kunnen 1,000000000000002 zijn in plaats van 1. Bij slecht geconditioneerde matrices kan de afwijking groter zijn. Als u exacte inversen nodig hebt, gebruik de exact-rationale modus voor kleine matrices.

Gerelateerde tools

Afrondingscalculator

Rond exacte decimalen af van 12 cijfers achter de komma tot biljoenen. Vergelijk half-even, van nul af, plafond, vloer en vier andere regels.

Baby percentiel berekenen

Voer de leeftijd, het geslacht en het gewicht van je baby in om een benaderende gewichtspercentielband en het referentiebereik voor die leeftijd te zien, vanaf de geboorte tot 24 maanden.

Rekenmachine voor capacitieve reactantie

Bereken de capacitieve reactantie Xc uit frequentie en capaciteit. Voer de frequentie in Hz en de capaciteit in µF in en krijg de reactantie direct in ohm (Ω).

Cilinderinhoud calculator

Bereken de cilinderinhoud van een motor op basis van boring, slag en aantal cilinders. Krijg de totale inhoud in cc, liters en kubieke inches plus het volume per cilinder direct in je browser.

Riemlengtecalculator

Bereken de exacte steek-, referentie- of effectieve lengte, of de hartafstand, uit twee referentiediameters van de poelies.

Gematria-calculator

Bereken de gematriawaarde van elk woord of elke zin in zes Engelse cijfers: Simple/Ordinal, Full Reduction, Reverse, Sumerian en Jewish/Latin.

Tool beschikbaar in andere talen