RREF-calculator
Put one matrix row on each line. Separate entries with spaces; decimal-comma locales can use spaces, semicolons, or vertical bars between entries.
Breng een numerieke matrix in gereduceerde rij-echelonvorm en bekijk elke elementaire rijoperatie. Voer een rechthoekige matrix van 1 × 1 tot en met 8 × 8 in voor de RREF, rang, nulliteit, pivotkolommen en vrije kolommen. Deze calculator werkt met eindige getallen, niet met symbolen of algebraïsche uitdrukkingen, en zet een uitgebreide matrix niet om in een uitgeschreven oplossing van een stelsel.
Zo bereken je de RREF
-
1
Voer de matrix in
Zet elke rij op een aparte regel en scheid de getallen met spaties, puntkomma’s of verticale strepen. De komma is een decimaalteken en kan daarom niet als scheidingsteken dienen. Elke rij moet evenveel elementen bevatten.
-
2
Controleer de afmetingen
Gebruik elke rechthoekige vorm van 1 × 1 tot en met 8 × 8. Decimalen en wetenschappelijke notatie zijn toegestaan, maar breuken zoals 1/3 en symbolische elementen niet.
-
3
Volg de rijoperaties
De calculator kiest een numerieke pivot, verwisselt zo nodig rijen, schaalt de pivot naar 1 en elimineert de overige elementen in die kolom.
-
4
Lees de matrixstructuur af
Bekijk naast de RREF ook rang, nulliteit en de vanaf 1 genummerde pivotkolommen en vrije kolommen. Kopieer daarna desgewenst de samenvatting.
Wat gereduceerde rij-echelonvorm betekent
Een matrix staat in gereduceerde rij-echelonvorm als elke niet-nulrij een leidende 1 heeft, elke volgende leidende 1 verder naar rechts staat dan die erboven, alle andere elementen in een pivotkolom nul zijn en eventuele nulrijen onderaan staan. De leidende enen zijn de pivots.
De RREF legt de numerieke structuur van een matrix op een eenduidige manier bloot. Kolommen met een pivot zijn pivotkolommen; de overige kolommen zijn vrije kolommen. De rang is het aantal pivots. Voor een matrix met n kolommen is de hier getoonde nulliteit gelijk aan n min de rang, en dus ook aan het aantal vrije kolommen.
Deze tool nummert kolommen vanaf 1. Als pivotkolommen 1 en 3 worden vermeld, gaat het om de eerste en derde kolom van de ingevoerde matrix.
Welke rijoperaties worden getoond
De calculator gebruikt de drie standaardtypen elementaire rijoperaties:
- Twee rijen verwisselen.
- Een rij vermenigvuldigen met een getal dat niet nul is.
- Een rij vervangen door zichzelf min een veelvoud van een andere rij.
Voor elke pivotkolom kiest de calculator uit de resterende rijen de kandidaat met de grootste absolute waarde. Deze gedeeltelijke pivotering is een numerieke voorzorgsmaatregel: zo wordt niet door een kleinere waarde gedeeld als er een grotere beschikbaar is. De gekozen rij wordt op de juiste plaats gezet, de pivot wordt naar 1 geschaald en de elementen erboven en eronder worden geëlimineerd. Na elke bewerking verschijnt een nieuwe momentopname van de matrix.
Verschillende geldige reeksen rijoperaties kunnen onderweg andere tussenstappen geven. De uiteindelijke gereduceerde rij-echelonvorm is dezelfde, afgezien van kleine effecten van eindige rekenprecisie.
Uitgewerkt numeriek voorbeeld
Voor de standaardmatrix
| Kolom 1 | Kolom 2 | Kolom 3 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | -1 |
| 2 | 4 | 1 |
| -1 | -2 | 2 |
is de gereduceerde rij-echelonvorm
| Kolom 1 | Kolom 2 | Kolom 3 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Er zijn twee pivots, in kolom 1 en 3, zodat de rang 2 is. Kolom 2 is vrij en de nulliteit is 3 - 2 = 1. De calculator toont de rijoperaties die daadwerkelijk tot dit resultaat leiden, niet alleen de eindmatrix.
Rang, nulliteit, pivotkolommen en vrije kolommen
De rang telt de pivotposities in de gereduceerde matrix. Dit getal is de dimensie van de kolomruimte en is ook gelijk aan het aantal niet-nulrijen in de RREF.
De nulliteit is de dimensie van de nulruimte van de matrix. Voor een m × n-matrix met rang r geldt de rang-nulliteitsstelling:
rang + nulliteit = aantal kolommen, oftewel r + nulliteit = n.
De calculator leidt deze waarden rechtstreeks af uit de numerieke reductie. Een matrix zonder vrije kolommen heeft nulliteit nul. Een brede rechthoekige matrix kan meerdere vrije kolommen hebben; bij afhankelijke rijen of nulrijen kan de rang kleiner zijn dan het aantal rijen.
Invoerregels en numerieke tolerantie
Voer één rij per regel in. Op de Nederlandse pagina kun je waarden scheiden met spaties, puntkomma’s of verticale strepen. Gebruik geen komma als scheidingsteken, want die wordt als decimaalteken gelezen. Lege regels worden genegeerd, maar alle niet-lege rijen moeten evenveel elementen hebben. Gehele getallen, decimalen en wetenschappelijke notatie zoals 2,5e-3 zijn toegestaan. Elke waarde moet eindig zijn en tussen -1.000.000 en 1.000.000 liggen.
De calculator rekent met drijvende-kommagetallen. Tijdens de reductie worden waarden met een absolute grootte kleiner dan 1e-10 als nul behandeld. Die tolerantie voorkomt dat piepkleine afrondingsresten als valse pivots verschijnen. Bij een bijna singuliere matrix moet je de uitkomst wel toetsen aan de precisie-eisen van je studie of toepassing.
Wat deze calculator niet doet
Dit is een numerieke matrixreductor, geen symbolisch algebrasysteem. Variabelen, als uitdrukking geschreven breuken, wortels en formules worden niet geaccepteerd. De tool berekent geen determinant of inverse en geeft geen parametrische oplossing. Ook zet hij rijen niet om in vergelijkingen en bepaalt hij niet of een afzonderlijk beschreven stelsel consistent is.
Je kunt de getallen van een uitgebreide matrix invoeren om de rijreductie te bekijken, maar de tool behandelt alle kolommen als één matrix. Hij herkent geen scheidingslijn voor de uitbreiding en ziet de laatste kolom niet als constanten. Gebruik de weergegeven RREF en kolominformatie als matrixresultaat en pas daarna de conventies van je eigen lineaire-algebravraagstuk toe.
Veelgestelde vragen
De calculator accepteert rechthoekige numerieke matrices met 1 tot 8 rijen en 1 tot 8 kolommen. Elke niet-lege rij moet evenveel elementen bevatten.
Ja. Hij registreert de beginmatrix en elke rijverwisseling, schaling en eliminatie, met na elke stap een momentopname van de matrix.
Nee. Voer eindige numerieke waarden in, zoals gehele getallen, decimalen of wetenschappelijke notatie. Uitdrukkingen zoals 1/3, vierkantswortels en symbolische elementen worden niet verwerkt.
De rang is het aantal pivotkolommen dat tijdens de reductie wordt gevonden. De nulliteit is het totale aantal kolommen min de rang en komt dus overeen met het aantal vrije kolommen.
Hij kan een numerieke matrix reduceren, ook als de getallen als een uitgebreide matrix zijn gerangschikt. Hij identificeert echter geen variabelen of uitbreidingsgrens, beoordeelt geen uitgeschreven stelsel en geeft geen parametrische oplossing.
Om resten van drijvende-kommaberekeningen te onderdrukken, behandelt de reductie absolute waarden kleiner dan 1e-10 als nul. Voor bijna singuliere matrices kan specialistische software met hoge precisie of exacte rekenkunde nodig zijn.
Gerelateerde tools
Baby percentiel berekenen
Voer de leeftijd, het geslacht en het gewicht van je baby in om een benaderende gewichtspercentielband en het referentiebereik voor die leeftijd te zien, vanaf de geboorte tot 24 maanden.
Kilometers naar mijlen omrekenen
Reken kilometers om naar landmijlen met de exacte factor 0,621371. Handig voor hardloopsplits, reizen naar de VS of het VK en geïmporteerde navigatiegegevens.
A1C-calculator
Zet HbA1c om tussen NGSP % en IFCC mmol/mol, bereken eAG in mg/dL of mmol/L of schat A1C op basis van eAG, met veiligheidsgerichte uitleg.
Mijlen naar kilometers omrekenen
Reken mijlen om naar kilometers met de exacte factor 1 mi = 1,609344 km. Inclusief referentietabel en snelle hoofdrekentips.
Celsius naar Kelvin-omzetter
Converteer Celsius naar Kelvin door 273,15 toe te voegen. Gebruikt in de scheikunde, natuurkunde en techniek, met referentiepunten voor wetenschap en fotografie.
Oppervlakteconverter
Converteer tussen gangbare oppervlakteeenheden: m², km², ft², yd², in², cm², mm², acres en hectares. Met precieze factoren en snelle referentiewaarden.