Zwaartepuntcalculator

Het woord “zwaartepunt” (centroïde) betekent iets anders, afhankelijk van waarmee je begint. Deze calculator behandelt de drie gangbare gevallen.

Driehoek

Het zwaartepunt van een driehoek is het gemiddelde van de drie hoekpunten en het punt waar de drie zwaartelijnen elkaar snijden. Voor de hoekpunten (x1, y1), (x2, y2) en (x3, y3) geldt:

Cx = (x1 + x2 + x3) / 3 en Cy = (y1 + y2 + y3) / 3

Het zwaartepunt ligt op een derde van elke zwaartelijn, gemeten vanaf de zijde. De oppervlakte is de helft van de absolute waarde van het uitproduct van twee zijden.

Verzameling punten

Bij een gewone verzameling punten is het zwaartepunt het gemiddelde van de x-waarden en het gemiddelde van de y-waarden. Er is geen omtrek, dus er wordt geen oppervlakte gegeven. Het is hetzelfde idee als het gemiddelde van een puntenwolk of het middelpunt van gelijke puntmassa’s.

Veelhoek (formule van Gauss)

Het zwaartepunt van een veelhoek is alleen het gemiddelde van de hoekpunten als het een driehoek is. De calculator loopt de zijden langs met de formule van Gauss (de veterformule). Met A de oppervlakte met teken, A = 1/2 * sum(xi * yi+1 - xi+1 * yi), is het zwaartepunt:

Cx = 1 / (6A) * sum((xi + xi+1) * (xi * yi+1 - xi+1 * yi))

Cy = 1 / (6A) * sum((yi + yi+1) * (xi * yi+1 - xi+1 * yi))

Het teken van A hangt af van de richting waarin je de hoekpunten opsomt, maar het zwaartepunt en de getoonde oppervlakte niet. De oppervlakte wordt als positief getal getoond.

Uitgewerkte voorbeelden

Wat geldt als geldige invoer

• Elke regel bevat precies twee getallen. Komma’s, puntkomma’s, spaties en tabs werken als scheidingsteken, en haakjes rond een punt worden genegeerd.
• Een veelhoek heeft minstens drie verschillende hoekpunten nodig. Je mag het eerste hoekpunt aan het eind herhalen, het wordt automatisch weggelaten.
• De omtrek mag zichzelf niet kruisen of raken. Een strikvorm of een acht is geen eenvoudige veelhoek, en de calculator meldt dat in plaats van een misleidend getal te geven.
• Punten die allemaal op één rechte lijn liggen, sluiten geen oppervlakte in, dus er is geen zwaartepunt voor een driehoek of veelhoek.
• Tot 200 punten, met coördinaten tot een miljard. Resultaten worden afgerond op zes decimalen.

Tips

• Het zwaartepunt van een holle (concave) veelhoek kan buiten de vorm liggen, bijvoorbeeld bij een smalle U of C. De grafiek laat dat duidelijk zien.
• Lijkt het zwaartepunt verkeerd, controleer dan de volgorde van de hoekpunten. Als je de hoeken zigzaggend opsomt in plaats van langs de rand, kruist de omtrek zichzelf.
• De eenheid doet er voor het zwaartepunt niet toe: het komt eruit in de eenheid van je coördinaten. De oppervlakte is die eenheid in het kwadraat.