Oplosser voor kubische vergelijkingen
Een kubische vergelijking heeft de algemene vorm ax³ + bx² + cx + d = 0 en heeft altijd drie wortels over de complexe getallen. Voer de vier coëfficiënten in en de oplosser geeft ze terug volgens de formule van Cardano: drie reële wortels wanneer de discriminant niet-positief is; één reële wortel plus een paar complex toegevoegde wortels wanneer de discriminant positief is; en een dubbelewortelconfiguratie wanneer de discriminant gelijk is aan nul.
Hoe de oplossingsmethode de wortels bepaalt
-
1
Voer de coëfficiënten in
Vier getallen: a, b, c en d. De leidende coëfficiënt a moet ongelijk aan nul zijn; anders is de vergelijking kwadratisch in plaats van kubisch.
-
2
Gedepresseerde kubiek
De oplosser verschuift de vergelijking met -b/(3a) om de kwadratische term te elimineren, waardoor de vorm `t³ + pt + q = 0` ontstaat.
-
3
Discriminant controle
Δ = (q/2)² + (p/3)³ bepaalt de weg: Δ > 0 leidt tot één reële wortel, Δ = 0 tot een dubbele wortel, en Δ < 0 tot drie reële wortels met behulp van trigonometrie.
-
4
Schuif naar achteren
Elke wortel die in t-ruimte wordt gevonden, wordt verschoven met -b/(3a) om x terug te krijgen. De oplosser geeft deze wortels terug in afnemende volgorde, waar van toepassing.
Discriminantgevallen en wat ze betekenen
De methode van Cardano volgt afhankelijk van het teken van de discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³ een van drie takken. De geometrie van het kubische grafiek weerspiegelt dit exact.
Casetafel
| Discriminant | Wortels | Grafiekvorm |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 1 reële waarde, 2 complexe conjugeerde waarden | Kruist de x-as één keer |
| Δ = 0 | 3 reële waarden, waarvan er ten minste twee gelijk zijn | Raakt de x-as bij een dubbele wortel |
| Δ < 0 | 3 verschillende reële wortels | Kruist de x-as drie keer |
Werkelijk voorbeeld
Voor x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 (coëfficiënten: 1, −6, 11, −6):
- Verschuif met −b/(3a) = 2 om de gedepresseerde vorm te verkrijgen: p = −1, q = 0.
- Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0, dus we volgen het pad van de drie reële wortels (trigonometrisch).
- De trigonometrische formule geeft de drie verschillende reële wortels x = 1, 2 en 3.
Numerieke overwegingen
- Afrondingsfouten met drijvendekommagetallen sluipen erin wanneer de drie wortels dicht bij elkaar liggen (een bijna drievoudige wortel). De weergegeven wortels kunnen in de laatste decimalen afwijken van de exacte waarden.
- Een zeer kleine a maakt b/(3a) groot, wat de rekenkundige berekeningen domineert en de nauwkeurigheid verlaagt. Als
|a|kleiner is dan ongeveer 1e-12, los de vergelijking dan liever als een kwadratische op. - Gehele coëfficiënten geven de schoonste uitvoer: rationale wortels verschijnen op hun exacte waarden, op de afronding met drijvende komma na.
Gerelateerde vergelijkingen
- Kwadratisch:
ax² + bx + c = 0. Gebruik de oplosser voor kwadratische vergelijkingen, in gesloten vorm en eenvoudiger. - Kwartisch:
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. De methode van Ferrari komt neer op een resolvente kubische vergelijking; dit wordt hier niet behandeld. - Gedepresseerde kubiek: stel b = 0 om de verschuiving over te slaan en voer
x³ + px + q = 0rechtstreeks in.
Veelgestelde vragen
De vergelijking is niet langer kubisch; de oplosser weigert dan verder te gaan, wissel daarom over naar de oplosser voor kwadratische vergelijkingen voor bx² + cx + d = 0.
In dat geval retourneert de oplosser de enige reële wortel. De andere twee wortels vormen een paar complexe conjugeerde wortels, die volgens de formule van Cardano in gesloten vorm worden gegeven; bereken ze als -x1/2 ± (√3/2) × i × modulus als u deze nodig hebt voor een symbolische uitdrukking.
Numerieke implementaties van de Cardano-methode kunnen residuen in de orde van 1e-15 opleveren door afronding met drijvende komma. Behandel alles onder 1e-10 als reëel; deze oplosser filtert die residuen al weg voor de tak waar Δ < 0 is.
De vier coëfficiënten worden alleen naar de server gestuurd om de wortels te berekenen en worden niet opgeslagen. Bij de stap-voor-stapweergave verschijnen de coëfficiënten ook in de paginalink.
Gerelateerde tools
Afrondingscalculator
Rond exacte decimalen af van 12 cijfers achter de komma tot biljoenen. Vergelijk half-even, van nul af, plafond, vloer en vier andere regels.
Baby percentiel berekenen
WHO-percentiel en z-score voor gewicht, lengte en hoofdomtrek van je baby naar leeftijd en geslacht, van 0 tot 24 maanden, met correctie voor vroeggeboorte.
Naamcompatibiliteitscalculator
Voer twee namen in en krijg een speelse compatibiliteitsscore plus het pythagorische numerologiegetal van elke naam. De tool leest alleen het Latijnse alfabet (A tot en met Z).
Breukcalculator
Bereken sommen, verschillen, producten en quotiënten van breuken. De resultaten verschijnen in laagste termen met stap voor stap de tussenstappen erbij, plus het decimale equivalent en de gemengde vorm ter controle.
Machtcalculator
Bereken grondtal verheven tot elke gehele, decimale, negatieve of fractionele macht. Volle precisie en wetenschappelijke notatie voor zeer grote of zeer kleine resultaten.
Cafeïne-halfwaardetijdcalculator
Schat hoeveel cafeïne er uur na uur in je lichaam blijft op basis van je dosis en persoonlijke halfwaardetijd, en zie wanneer het onder een gekozen niveau zakt.
Tool beschikbaar in andere talen
- Résolveur d'équations cubiques [FR]
- Phương pháp giải phương trình lập phương [VI]
- Lösare för kubiska ekvationer [SV]
- 三次方程式ソルバー [JA]
- Kalkulator równań sześciennych [PL]
- Resolutor de Ecuaciones Cúbicas [ES]
- Solução de Equação Cúbica [PT]
- เครื่องแก้สมการลูกบาศก์ [TH]
- Pemecah Persamaan Kubik [ID]
- 삼차방정식 계산기 [KO]
- حل المعادلات التكعيبية [AR]
- Kubische Gleichungs-Löser [DE]
- 三次方程求解器 [ZH]
- Cubic Equation Solver [EN]
- Risolutore di Equazioni Cubiche [IT]
- Решатель кубических уравнений [RU]
- Kübik Denklem Çözücü [TR]