Hypergeometrische kans berekenen

Wat de berekening betekent

N is de populatiegrootte, K het aantal successen in de populatie, n het aantal getrokken elementen en X het aantal successen in de steekproef. Je trekt zonder terugleggen: een getrokken element kan niet opnieuw worden getrokken.

Voor precies k successen geldt:

P(X = k) = C(K, k) × C(N - K, n - k) / C(N, n)

Hier is C(a, b) het aantal manieren om b elementen uit a te kiezen. Alleen van max(0, n - (N - K)) tot en met min(n, K) successen zijn mogelijk. Een exact doel buiten dat bereik heeft kans nul, ook als het tussen nul en de steekproefgrootte ligt. Hoogstens k telt de exacte kansen tot en met k op; minstens k telt ze vanaf k op. Een cumulatieve gebeurtenis buiten het mogelijke bereik kan daardoor kans nul of één hebben.

Voorbeeld: vijf trekkingen uit 20 elementen

Een doos bevat 20 elementen, waarvan er zeven gemarkeerd zijn. Trek er vijf zonder terugleggen en bereken de kans op precies twee gemarkeerde elementen. Vul N = 20, K = 7, n = 5, k = 2 in en kies Precies k.

P(X = 2) = C(7, 2) × C(13, 3) / C(20, 5) = 21 × 286 / 15504 = 6006 / 15504 ≈ 0,387384.

Dat is ongeveer 38,74%. Kies Hoogstens k voor P(X ≤ 2) ≈ 0,793215 of Minstens k voor P(X ≥ 2) ≈ 0,594169. Beide cumulatieve gebeurtenissen omvatten precies twee gemarkeerde elementen.

Verwachting, variantie en het verschil met de binomiale verdeling

Het verwachte aantal successen is n × K / N. Als N > 1, is de variantie n × (K/N) × (1 - K/N) × (N - n)/(N - 1); bij N = 1 is die nul. De laatste factor houdt rekening met de veranderende samenstelling van de resterende populatie.

De R-documentatie over de hypergeometrische verdeling beschrijft de bijbehorende exacte kansfunctie en cumulatieve verdelingsfunctie.

Gebruik een binomiaal model als trekkingen onafhankelijk zijn en de succeskans telkens gelijk blijft, bijvoorbeeld wanneer je een element vóór de volgende trekking teruglegt. Dit hypergeometrische model geldt voor een vast aantal trekkingen uit een eindige populatie zonder terugleggen. De calculator accepteert gehele getallen en berekent de verdeling in de browser. Voor de begeleide stappen wordt de invoer tijdelijk in dit tabblad bewaard; in een ander tabblad of na het verlopen van de sessie moet je mogelijk opnieuw beginnen.

Bij extreem kleine kansen groter dan nul kan Minder dan 10^-300 verschijnen, omdat gewone decimale getallen de volledige waarde niet kunnen weergeven. De CSV bevat daarom ook voor elke mogelijke uitkomst de logaritme met grondtal 10 van de kans, zodat je de orde van grootte kunt zien.