Lineaire benadering berekenen

Het zijn twee namen voor hetzelfde idee. De linearisering is de functie L(x) = f(a) + f’(a)(x - a), de vergelijking van de raaklijn in a. De lineaire benadering is wat je ermee doet: L(x) gebruiken als schatting van f(x) voor x dicht bij a. Deze calculator geeft allebei, de lijn en de schatting.

Symbolisch, met dezelfde regels die je met de hand gebruikt: de machtsregel, de productregel, de quotiëntregel en de kettingregel, en de standaardafgeleiden van sqrt, exp, ln, log, de goniometrische functies, hun inversen en abs. Daarna rekent hij die afgeleide uit in a. Daardoor is f’(a) exact op de gewone afronding van computergetallen na, en geen numerieke schatting. De gevonden afgeleide staat in de uitwerking, een beetje opgeruimd maar niet volledig vereenvoudigd, dus die kan er anders uitzien dan jouw antwoord en er toch gelijk aan zijn.

Hier is log(x) de logaritme met grondtal 10 en ln(x) de natuurlijke logaritme, zoals in de meeste wiskundeboeken en op de meeste rekenmachines. Sommige software leest log als de natuurlijke logaritme, dus controleer welke je opgave bedoelt. Als je functie log bevat, herinnert de calculator je daaraan voordat het resultaat komt.

Altijd in radialen. De differentieerregels, zoals dat de afgeleide van sin(x) gelijk is aan cos(x), gelden alleen in radialen. Wil je bij 30 graden werken, voer dan a = pi/6 in, en voor 45 graden pi/4. Zowel het punt a als de x mag een constante zijn zoals pi/6, e of sqrt(2).

Er is geen vaste afstand: het hangt ervan af hoe sterk de grafiek bij a kromt. De fout groeit met het kwadraat van de afstand tot a, dus als je de afstand halveert, blijft er ongeveer een kwart van de fout over. Vul je x in en lees de absolute en de procentuele fout af. Is de fout te groot voor jouw doel, kies dan een punt a dat dichter bij x ligt.

Ofwel de functie heeft in a geen eindige waarde, zoals ln(x) in 0 of 1/x in 0, ofwel ze heeft een waarde maar geen eindige helling, zoals abs(x) in 0 (een knik) of sqrt(x) in 0 (een verticale raaklijn). In zeldzame gevallen, zoals x*abs(x) in 0, bestaat de afgeleide wel, maar leveren de regels daar 0/0 op. De calculator meldt dan dat er geen helling is en gaat niet gokken. In al deze gevallen helpt het om een punt in de buurt te kiezen.

De waarden worden berekend met dubbele precisie, ongeveer 15 significante cijfers, en getoond met 7. Een isgelijkteken betekent dat het getal volledig wordt getoond, het teken ≈ dat het is afgerond. Ligt x zo dicht bij a dat de schatting en de werkelijke waarde op bijna alle 15 cijfers gelijk zijn, dan wordt de fout alleen getoond met de cijfers die iets betekenen.

Nee. De functie en de getallen die je typt, worden naar onze server gestuurd om het resultaat te berekenen, en ze komen in de link van de pagina te staan als je van stap naar stap gaat. Zo kun je een berekening als bladwijzer bewaren of delen. Ze worden niet opgeslagen in een account of profiel.